算法介绍 最大流问题是指在一个有向图中，从一个源点到一个汇点，最大化流量，使得所有边的容量都大于等于 0。 dinic 算法是一种高效的求解最大流问题的算法，其时间复杂度为 \(O(EV^2)\)。 dinic 算法的基本思想是，通过增广路算法，找到一条从源点到汇点的增广路，然后通过深度优先搜索（DFS）算法，在增广路上进行流的增广，直到不能再增广为止。 步骤 初始化 fl...

定义 这里期望长度表示一段序列连续长度的期望。具体来说，对于一段序列，每个点都有一个概率连续和断开。求所有连续序列和的期望。 当然，对于以上期望长度的定义，我们只需要求出每个点存在的期望的和即可。但是题目永远不会这么简单。 Osu! Osu!是一个音乐游戏，玩家需要对音符在恰当时候进行敲击来通关。一次到位的敲击为o，不到位的为x。一段连续到位的敲击，即combo次数为这段序列的长...

差分 记录相邻节点值的差值。这样一来，前缀和就相当于原值了。 树上差分 树上差分基本上就是差分在树上的实现。因为差分的原理，我们先将所有点的权值改变成差分值，再更改一段区间内的所有值时，只需要更改首尾两端的值，如果要求值的话 dfs 重新加上前缀和就是正常的值了。 P3128 [USACO15DEC] Max Flow P 模板题，发现更改任意两点间的值只需要在两点差分值加...

【模板】权值线段树套序列线段树 P3380 【模板】二逼平衡树（树套树） 主要思路如下： 外层为权值线段树，内层为动态开点线段树，也就是每个权值线段树上的节点开一个动态开点线段树。 外层的权值线段树支持查询排名，内层的线段树限制了区间。实际上就是在普通权值线段树上查询的价值变成了在其线段树上区间查询返回的值。 对于这道模板题，我们先写几个函数： 插入 下方的update为外层...

点分治 点分治是一种树形分治的算法，它选择当前连通块一个重心，将树分成多个连通块进行处理，然后对每个连通块进行分治递归。 树的重心 树上的一个点，满足它的儿子的 \(size\) 的最大值最小。 可以证明，一个树有一个或者两个重心。若有两个重心，它俩一定是直接相连的。 处理问题 求树上给定路径联通的点的对数。我们发现将树分治后，形成了若干个连通块，而且这些连通块必定经过重心。...

P3384 【模板】重链剖分/树链剖分 适用问题 对一个给定的树，维护（修改、查询）其节点点权/边权，操作可 \(O(\log n)\) 次处理（如路径、子树）。 实现 将一棵树剖分成若干条链，每一条链通过区间数据结构维护。 将一个点的子树中最大的那个做为重儿子，其他的叫做轻儿子，对于所有点的重儿子连的链称为重链。我们将重链作为主链，将轻儿子构成的其他轻链加在重链的后面。很明显，...

逆元 求一个数的逆元，就是说这个数乘以它的逆元恰好等于1。在 \(\mathbb{Z}_p\) 内，设 \(a\),\(b\) 互质，则 \(a\) 的逆元记作 \(a^-1\)，定义为 \(b\)，使得 \(ab=1\)。 \(p\) 是素数时，逆元唯一存在。 \(p\) 是合数时，逆元可能不存在。 求逆元 扩展欧几里得 适用于 \(p\) 不为素数的情况。 解方程组 \(...

笛卡尔树 笛卡尔树（Cartesian tree）是一种树形数据结构，每个节点都是一个区间，树的根节点表示整个区间，左儿子表示区间的左半部分，右儿子表示区间的右半部分。 笛卡尔树可以通过单调栈 \(O(n)\) 静态建造。 例题 P2659美丽的序列 题意 找出一个序列的所有子段中子段长度乘段内元素最小值的最大值。 思路 我们需要找出所有子段中贡献最大的，并且一个...

算法介绍 模拟退火是一种最优化随机化算法。什么叫随机化算法？就是抽奖抽正解 一般用于求解最优解，即最优化问题，而且一般比较适合于小数据的最优解和大数据的近似最优解。 算法步骤 每次迭代都随机选择一个解，然后模拟退火得到该解的邻域最优解，如果邻域最优解比当前解更优，则接受该邻域最优解小，则更新当前解为该解。 模拟退火步骤如下： 先初始化温度，当前解和当前答案 如果温度小于最终...

类欧几里得算法之所以得名是因为其算法复杂度证明与扩展欧几里得算法类似。 我认为类欧更偏向于是一种思想。 其主要思想就是寻找可以简便计算的边界，然后通过化式子将不同情况化为边界递归计算。 通过几个具体的例子，可以更好地理解其思想。 P5170 【模板】类欧几里得算法 推导 \[ f(a,b,c,n)=\sum_{i=0}^n \lfloor\frac{ai+b}{c}\rf...