问题描述
有 \(n\) 个物品，每种物品两个权值
\(a_i\)，\(b_i\)，求一组 \(w_i\in\{0,1\}\)，使得
\[
\frac{\sum_{i=1}^n w_i\cdot a_i}{\sum_{i=1}^n w_i\cdot b_i}
\]
最大（或最小）。
有可能包含其他限制。
二分法
显然答案是单调的。对一个答案 \(mid\)，有
\[
\begin{aligned}
&\frac{\sum_{i=1}^n w_i\cdot a_i}{\sum_{i=1}^n w_i\cdot
b_i}>mid\\
\Leftrightarrow&\sum_{i=1}^n w_i\cdot a_i-mid\sum_{i=1}^n w_i\cdot
b_i>0\\
\Leftrightarrow&\sum_{i=1}^n w_i\cdot (a_i-mid \cdot b_i)>0\\
\end{aligned}
\]
因此可以对该权值 \(a_i-mid \cdot
b_i\) 进行贪心对答案进行检查。顺便满足题目要求。
例题
POJ2976
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#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,k;
int a[1010],b[1010];
double d[1010];
const double eps=1e-7;
inline bool ok(double x)
{
for(int i=1;i<=n;i++)
d[i]=a[i]-x*b[i];
sort(d+1,d+1+n);
double ans=0;
for(int i=n;i>=k+1;i--)ans+=d[i];
return ans>=0;
}
int main()
{
while(scanf("%d%d",&n,&k) and n|k)
{
for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",a+i);
for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",b+i);
double l=0,r=1;
while(r-l>eps)
{
double mid=(l+r)/2;
if(ok(mid))l=mid;
else r=mid;
}
printf("%.0f\n",l*100);
}
return 0;
}
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