矩阵树定理
定义
- 邻接矩阵：\(A=(a_{ij})\)，其中
\(a_{ij}\) 表示 \(i\) 到 \(j\) 有几条边相连。
- 度数矩阵：\(C=(c_{ij})\)，为对角矩阵，其中 \(c_{ii}\) 表示 \(i\) 的度数。
- 基尔霍夫矩阵：\(D=C-A\)。
- 余子式：\(M_{ij}\) 表示去掉第 \(i\) 行第 \(j\) 列后得到矩阵的行列式。
定理
无向图的生成树个数等于其基尔霍夫矩阵 \(D\) 的任意余子式的行列式。
如果图不连通，那么任意余子式为0。
例题
P4208 [JSOI2008]
最小生成树计数
根据定理，我们只需要求出联通的边权相同的点集，在该集合中根据矩阵树定理求出生成树的多少，然后把所有集合的结果相乘就好辣！
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| #include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<cmath>
using namespace std;
inline int read(){
int x=0,w=0;char c=getchar();
while(!isdigit(c))w|=c=='-',c=getchar();
while(isdigit(c))x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
return w?-x:x;
}
namespace star
{
const int maxn=105,maxm=1005,mod=31011;
int n,m,N;
int a[maxn][maxn],fa[maxn],but[maxn],bel[maxn];
struct Edge{
int u,v,w;
bool operator < (const Edge& rhs) const{
return w<rhs.w;
}
}e[maxm],em[maxm];
int find(int x){return x==fa[x]?x:fa[x]=find(fa[x]);}
long long Gauss(int n){
long long ans=1;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=i+1;j<=n;j++){
while(a[j][i]){
long long t=a[i][i]/a[j][i];
for(int k=i;k<=n;k++) a[i][k]=(a[i][k]-t*a[j][k]%mod+mod)%mod;
swap(a[i],a[j]);
ans=-ans;
}
}
ans=(ans*a[i][i]%mod+mod)%mod;
}
return ans;
}
inline void work(){
n=read();m=read();
for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
for(int i=1;i<=m;i++) e[i].u=read(),e[i].v=read(),e[i].w=read();
sort(e+1,e+m+1);
int cnt=0,cnte=0;
for(int i=1;i<=m;i++){
int x=find(e[i].u),y=find(e[i].v),z=e[i].w;
if(x!=y){
fa[x]=y;
em[++cnte]=e[i];
if(z!=but[cnt]) but[++cnt]=z;
}
}
if(cnte!=n-1) return (void)puts("0");
long long ans=1;
for(int i=1;i<=cnt;i++){
for(int j=1;j<=n;j++) fa[j]=j;
for(int j=1;j<=cnte;j++) if(em[j].w!=but[i]) fa[find(em[j].u)]=find(em[j].v);
N=0;
for(int j=1;j<=n;j++) if(find(j)==j) bel[j]=++N;
for(int j=1;j<=n;j++) bel[j]=bel[find(j)];
memset(a,0,sizeof(a));
for(int j=1;j<=m;j++) if(e[j].w==but[i]){
int x=bel[e[j].u],y=bel[e[j].v];
a[x][y]--,a[y][x]--;
a[x][x]++;a[y][y]++;
}
ans=ans*Gauss(N-1)%mod;
}
printf("%lld\n",ans);
}
}
signed main(){
star::work();
return 0;
}
|
