P7003 [NEERC2013]Hack Protection
P7003 [NEERC2013]Hack
Protection
题意
给定一个序列 \(a\)
，求有多少个区间满足区间内的数的异或和等于与的和的值。
思路
首先我们求一个异或前缀和 \(s\)，对于每一个区间 \([l,r]\) ，它的贡献为区间内按位与的和等于
\(s_r \bigoplus s_{l-1}\)
的段的个数。
设 \(x\)
为某个区间的按位与的和，上面的也就是： \[
s_r \bigoplus s_{l-1}=x\ \Leftrightarrow \ s_r=x \bigoplus s_{l-1}
\] 发现，如果我们固定 \(x\) 和
\(s_{l-1}\) ，那么 \(s_r\) 就是固定的，我们就可以求区间内与
\(s_r\) 相等的数的个数来统计答案。
考虑枚举 \(l\)
，发现，对于往后按位与的过程，\(x\)
(与上文定义相同)最多会变化 \(\log\)
次，我们就可以将其分为这么多段，然后在 \(s\) 中求与 \(s_r\) 相等的数的个数就可以了。
求每一段的按位与结果，可以记录变成 0 的那一位是什么，或者直接 st
表查询都行。
对于最后一个问题，我们可以用主席树，或者简单地离散化加
vector 上二分即可。
实现
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| #include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cctype>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<utility>
#define int unsigned
using namespace std;
inline int read(){
int w=0,x=0;char c=getchar();
while(!isdigit(c))w|=c=='-',c=getchar();
while(isdigit(c))x=x*10+(c^48),c=getchar();
return w?-x:x;
}
namespace star
{
const int maxn=1e5+10;
int pre[maxn][35],n,a[maxn],b[maxn],s[maxn];
long long ans;
vector<int> V[maxn];
pair<int,int> q[35];
inline void work(){
n=read();
for(int i=1;i<=n;i++) s[i]=read(),a[i]=b[i]=a[i-1]^s[i];
sort(b+1,b+1+n);
int cnt=unique(b+1,b+1+n)-b-1;
for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=lower_bound(b+1,b+1+cnt,a[i])-b;
for(int i=1;i<=n;i++) V[a[i]].push_back(i);
for(int j=0;j<31;j++) pre[n+1][j]=n+1;
for(int i=n;i;i--)
for(int j=0;j<31;j++)
pre[i][j]=((s[i]>>j)&1)?pre[i+1][j]:i;
for(int l=1;l<=n;l++){
int tot=0,x=s[l];
q[0].first=l;
for(int j=0;j<31;j++)
if((s[l]>>j)&1) q[++tot]=make_pair(pre[l][j],j);
q[++tot]=make_pair(n+1,0);
sort(q+1,q+1+tot);
for(int i=1;i<=tot;i++){
int y=lower_bound(b+1,b+1+cnt,x^b[a[l-1]])-b;
if(y<=n and b[y]==(x^b[a[l-1]]))
ans+=(lower_bound(V[y].begin(),V[y].end(),q[i].first)-lower_bound(V[y].begin(),V[y].end(),q[i-1].first));
x^=(1<<q[i].second);
}
}
printf("%lld\n",ans);
}
}
signed main(){
star::work();
return 0;
}
|
